西方哲學史 P 18
西方哲學史
作者：羅素
第18，共341。
大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯繫在一片的，這就使它們具有一種虛幻的價值。天文學和占星學聯繫在一片，化學和煉丹術聯繫在一片。數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。數學的知識看來是可靠的、準確的，而且可以應用於真實的世界。此外，它還是由於純粹的思維而獲得的，並不需要觀察。因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。人們根據數學便設想思想是高於感官的，直覺是高於觀察的。如果感官世界與數學不符，那麼感官世界就更糟糕了。人們便以各種不同的方式尋求更能接近於數學家的理想的方法，而結果所得的種種啟示就成了形而上學與知識論中許多錯誤的根源。這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。
正如大家所知道的，畢達哥拉斯說「萬物都是數」。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義的。他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞裡的「調和中項」與「調和級數」就仍然保存着畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯繫。他把數想象為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。
畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關於直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等於另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是顯然希臘人是最早觀察到32+42=52的，並且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。
然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形裡，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長一時，那麼弦應該有多麼長呢？讓我們假設它的長度是m/n時。那麼m2/n2=2。如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m2＝2n2，所以m是偶數，所以m也是偶數；因此n就是奇數。假設m＝2p。那末4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。以上的證明，實質上就是歐幾里德第十編中的證明①。
這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關係；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成於歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)2=a2+2ab+b2。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體系在邏輯上是醒目的，並且已經預示着十九世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了坐標幾何學（解析幾何）從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。
幾何學對於哲學與科學方法的影響一直是深遠的。希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。公理和定理被認為對於實際空間是真確的，而實際空間又是經驗中所有的東西。這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。「獨立宣言」①說：「我們認為這些真理是自明的」，其本身便脫胎于歐幾里德。十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾里德式的公理②。牛頓的《原理》一書，儘管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾里德所支配着的。嚴格的經院形式的神學，其體裁也出於同一個來源。個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。
正如大家所知道的，畢達哥拉斯說「萬物都是數」。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義的。他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞裡的「調和中項」與「調和級數」就仍然保存着畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯繫。他把數想象為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。
然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形裡，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長一時，那麼弦應該有多麼長呢？讓我們假設它的長度是m/n時。那麼m2/n2=2。如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m2＝2n2，所以m是偶數，所以m也是偶數；因此n就是奇數。假設m＝2p。那末4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。以上的證明，實質上就是歐幾里德第十編中的證明①。
這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關係；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成於歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)2=a2+2ab+b2。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體系在邏輯上是醒目的，並且已經預示着十九世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了坐標幾何學（解析幾何）從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。
幾何學對於哲學與科學方法的影響一直是深遠的。希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。公理和定理被認為對於實際空間是真確的，而實際空間又是經驗中所有的東西。這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。「獨立宣言」①說：「我們認為這些真理是自明的」，其本身便脫胎于歐幾里德。十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾里德式的公理②。牛頓的《原理》一書，儘管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾里德所支配着的。嚴格的經院形式的神學，其體裁也出於同一個來源。個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。
